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Wahlteil 2009 – Analysis - Aufgabe I 3
(Die Aufgabe wird nur ausschnittsweise wiedergegeben!)

Die normale Körpertemperatur eines gesunden Menschen liegt bei 36,5°C.
Die Funktion f mit f(t)=36,5+t·e-0,1t beschreibt modellhaft den Verlauf einer Fieberkurve bei einem Erkrankten. Dabei ist t=0 die Zeit in Stunden nach Ausbruch der Krankheit und f(t) die Körpertemperatur in °C.

c) Fünf Stunden nach Ausbruch der Krankheit erhält der Erkrankte ein fiebersenkendes Medikament.
Von diesem Zeitpunkt an sinkt die Temperatur nach der Gesetzmäßigkeit des beschränkten Wachstums und nähert sich der normalen Körpertemperatur.
Zwei Stunden nach Einnahme des Medikaments beträgt die Temperatur 38,4°C.
Bestimmen Sie eine Funktion g, welche den weiteren Temperaturverlauf beschreibt.

Lösung c)

Bestimmung von g
Da es hier um ein fiebersenkendes Mittel geht, setzen wir die Formel für den beschränkten Zerfall an:

f(t)=S+c·ekt

Dabei ist S die untere Schranke, der sich die Funktionswerte nähern. In unserem Fall ist dies die normale Körpertemperatur, also S=36,5°C. Zum Zeitpunkt t=5 beträgt die Körpertemperatur f(5)=39,5°C. Dies ist der Zeitpunkt bei dem g "beginnt", d.h. g(0)=f(5)=39,5. Somit gilt: g(0)=36,5+c·ek·0=36,5+c=39,5. Es folgt c=3.

Mit g(2)=38,4 lässt sich nun auch k bestimmen:


Ergebnis Der gesuchte Funktionsterm lautet g(t)=36,5+3e-0,228t.

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