ELEARNING - FREIBURG

HOME   Mathematik   Prüfungsaufgaben

Abikurs Mathe - Analysis

<<

27 - Natürliches/exponentielles Wachstum

>>



Wachstumsprozesse

  • Natürliches Wachstum
  • Größenbeschränktes Wachstum
  • Logistisches Wachstum
  • Beschreibung mit Differenzialgleichungen

Natürliches/exponentielles Wachstum Natürliches Wachstum wird in der Regel durch eine Exponentialfunktion ausgedrückt:

Dabei ist …
  • t der Zeitpunkt der Messung bzw. der Beobachtung.
  • f(t) der gemessene Wert bzw. Bestand.
  • c der Anfangsbestand zum Zeitpunkt t=0.
  • a der Wachstumsfaktor bzw. die Zerfallsrate.
  • Die Funktion f(t) wird Wachstumsfunktion genannt.

Die Wachstumskonstante

Eine allgemeine Exponentialfunktion ist bei Berechnungen jedoch schlecht handhabbar! Daher wandelt man diese um in eine e-Funktion. Die e-Funktion macht weniger Arbeit, da sie sowohl beim Ableiten als auch beim Integrieren (aufleiten) erhalten bleibt.
Wenn man den Wachstumsfaktor a in eine e-Funktion umschreiben will, diesen also in der Form a=ek ausdrücken will, so ist k=ln(a) und aus f(t)=c·at wird f(t)=c·ekt.
k nennt man die Wachstumskonstante.

Hinweis
Verwechseln Sie die Wachstumskonstante k nicht mit dem Wachstumsfaktor a, den k ergibt sich erst aus a durch k=ln(a).

Wir verwenden also zukünftig diese ...

Formel für natürliches bzw. exponentielles Wachstum

Hier noch einmal die Bedeutung der einzelnen Variablen:
  • t ist der Zeitpunkt der Messung.
  • f(t) ist der gemessene Wert.
  • c ist der Anfangsbestand zum Zeitpunkt t=0.
  • k ist die Wachstumskonstante bzw. die Zerfallskonstante.
Natürliches Wachstum feststellen
Wenn eine Messreihe vorgelegt wird, so lässt aich natürliches bzw. exponentielles Wachstum durch Prüfung der einzelnen Messwerte feststellen.


Wenn sich jeder Messwert aus seinem Vorgänger durch Multiplikation mit demselben Faktor a ergibt, so handelt es sich um natürliches Wachstum und wir können als Bildungsgesetz die Formel f(t)=cekt ansetzen, wobei k=ln(a) die Wachstumskonstante und c=f(0) der Anfangsbestand zu Beginn der Messung (also der erste Messwert) ist.

Kenngrößen

Wichtige Kenngrößen bei natürlichem Wachstum sind die Halbwertszeit tH und die Verdopplungszeit tV.

Die üblichen Fragestellungen in diesem Zusammenhang sind beispielsweise:
  • Wie lange dauert es, bis sich eine Bakterienkultur verdoppelt hat?
  • Wie lange braucht ein radioaktiver Stoff, bis er zur Hälfte zerfallen ist?
  • Wie lange dauert es, bis ein Kondensator zur Hälfte entladen ist?

Formel für die Halbwertszeit

  Formel für die Verdopplungszeit


Wie man sieht ergeben sich beide Kenngrößen direkt aus der Wachstumskonstanten k.

Umgang mit Prozentangaben
Häufig werden Zu- oder Abnahmen in Prozent angegeben.

Beispiel Kapitalverzinsung

Ein Kapital K0 wird jährlich zu p Prozent verzinst. Nach Ablauf eines Jahres wächst das Kapital an auf:

Der Wachstumsfaktor a ergibt sich wie folgt:
für Wachstum

  für Zerfall


Sie können also aus einer Prozentangabe zunächst den Wachstumsfaktor gewinnen und daraus wiederum die Wachstumskonstante.

Rechenbeispiel
Nach einem Jahr sind etwa 2,3% des chemischen Element Cäsium zerfallen.
Bestimme die Wachstumskonstante k und die Halbwertszeit tH.
Nach welcher Zeit sind mindestens 90% zerfallen?

Lösung

a=1-2,3/100=0,977 ⇒ k=ln(a)≈-0,0233 ⇒
Hier gilt es zwei Hürden zu überwinden! Erstens fehlt scheinbar die Angabe eine Anfangsbestands. Zweitens rechnet die Wachstumsformel mit Beständen und nicht mit bereits zerfallenem Material! Wenn 90% (des Anfangsbestands) zerfallen sein sollen, dann bleiben noch 10% nicht zerfallenes Material übrig (gerechnet wird mit Beständen). Das liefert den Ansatz: 0,1f(0)=f(0)·e-0,0233t.
Nun kürze f(0):

Ergebnis: Nach etwa 99 Jahren sind mindestens 90% des Materials zerfallen. Sie sehen: Den Anfangsbestand haben wir gar nicht gebraucht!

Es folgen nun einige Aufgaben.


Aufgabe 1
Radioaktives Jod 131 hat einen Zerfallsfaktor von a=0,917.
Die Zeit t wird in Tagen gemessen, die Mengen in Gramm.
  1. Bestimmen Sie das Zerfallsgesetz für eine anfängliche Menge Jod von 10g.
  2. Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
  3. Eine Probe enthält zu Beobachtungsbeginn 8g Jod.
    Wie viel ist davon nach 16 Tagen noch vorhanden?
Lösung
  1. Mit c=10 und k=ln(a)=ln(0,917)≈-0,08665 folgt f(t)=cekt=10e-0,08665t.

    Ergebnis: Das Wachstumsgesetz lautet f(t)=10e-0,08665t.
     
  2. Die Halbwertszeit ist gegeben durch tH=-ln(2)/k=-ln(2)/(-0,08665)≈8.

    Ergebnis: Jod 131 hat eine Halbwertszeit von etwa 8 Tagen.
     
  3. Das Wachstumsgesetzt lautet hier f(t)=8e-0,08665t. Für t=16 erhalten wir f(16)=2. Da wir aus Teilaufgabe b) die Halbwertszeit kennen, lässt sich das Ergebnis auch ohne Taschenrechner bestimmen. Nach 16 Tagen ist die Halbwertszeit zweimal abgelaufen, d.h. die ursprüngliche Menge hat sich in dieser Zeit zweimal halbiert und beträgt nunmehr 2g.

    Ergebnis: Nach 16 Tagen sind bei einer ursprünglichen Menge von 8g Jod 131 nur noch 2g übrig.

Aufgabe 2
Eine Bakterienkultur enthält zu Beobachtungsbeginn 1500 Bakterien.
Nach jeweils 4 Stunden vervierfacht sich die Anzahl der Bakterien.
  1. Bestimmen Sie einen Funktionsterm, das diesen Wachstumsvorgang beschreibt.
  2. Wieviele Bakterien enthält die Kultur nach 2 Stunden?
  3. Wie lange dauert es, bis sich die Anzahl der Bakterien verdreifacht hat?

Lösung
  1. Der Funktionsterm lässt sich auf verschiedene Arten bestimmen.

    Erste Methode:
    Wir gehen von einem beliebigen Zeitpunkt t aus. Vier Stunden später, also zum Zeitpunkt t+4 haben wir den vierfachen Bestand. Somit liefert uns der Ansatz 4·f(t)=f(t+4) eine Gleichung, über die wir k und damit den Funktionsterm bestimmen können. Die zweite Methode erscheint uns jedoch etwas einfacher.

    Zweite Methode:
    Eine Vervierfachung bedeutet, dass in diesen 4 Stunden zwei Verdopplungsperioden durchlaufen wurden. Somit dauert eine Verdopplungsperiode 2 Stunden. Mit tV=ln(2)/k folgt 2=ln(2)/k und damit k=ln(2)/2≈0,3466. Mit c=1500 folgt nun das ...

    Ergebnis: Das Wachstumsgesetz ist gegeben durch f(t)=1500e0,34665t.
     
  2. Wie oben beschrieben dauert eine Verdopplungsperiode 2 Stunden. Nach Ablauf dieser Zeitspanne haben wir somit den doppelten Anfangsbestand, also 3000 Bakterien

    Ergebnis: Nach 2 Stunden enthält die Bakterienkultur 3000 Bakterien.
     
  3. Der dreifache Wert des Anfangsbestands beträgt 4500 Bakterien. Gemäß dem obigen Wachstumsgesetz gilt somit 4500=1500·e0,3466t. Dies lässt sich nach t auflösen, was uns t≈3,168 auf eine Nachkommastelle gerundet t=3,2 liefert.

    Ergebnis: Nach etwa 3,2 Stunden (also 3 Stunden und 12 Minuten) verdreifacht sich die Anzahl der Bakterien in der Kultur.

Aufgabe 3
Eine Bakterienkultur benötigt für einen Zuwachs um 25% exakt 30 Minuten.
Die Zeit t werde hier in Stunden gemessen.
Bei Beobachtungsbeginn wurden 2200 Bakterien gezählt.
  1. Bestimmen Sie einen Funktionsterm für das Wachstumsgesetz.
  2. Wie groß ist die Bakterienkultur nach 4 Stunden?

Lösung
  1. Aus dem Prozentsatz p=25%=0,25 ergibt sich der Wachstumsfaktor a=1+0,25=1,25 und daraus die Wachstumskonstante k=ln(a)=ln(1,25)≈0,223. Da der Zeitschritt in Stunden gemessen werden soll, der Zuwachs sich aber nur auf eine halbe Stunde bezieht, müssen wir im Wachstumsgesetz f(t)=cekt das t durch 2t ersetzen! Wir können den Faktor 2 gleich in das k "hineinmultiplizieren" und erhalten k≈0,446. Dies ist das "neue" k, also die Wachstumskonstante für den "Stunden"-Zeitschritt. Mit dem Anfangsbestand c=2200 folgt das ...

    Ergebnis: Das Wachstumsgesetz der Bakterienkultur lautet f(t)=2200·e0,446t.
     
  2. Mit f(4)≈13098 haben wir folgendes ...

    Ergebnis: Nach 4 Stunden befinden sich 13098 Bakterien in der Kultur.

Downloads

PowerPoint
PDF