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Abikurs Mathe - Analysis

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26 - Kurvendiskussion
Polstellen

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Eine Polstelle (auch senkrechte Asymptote genannt), nennen wir sie x0, ist dadurch gekennzeichnet,
dass, wenn man sich von links oder rechts der Stelle x0 annähert, die Funktionswerte gegen plus oder minus unendlich gehen.

Polstellen können an den Nullstellen des Nenners auftreten, müssen aber nicht!

In der nebenstehenden Abbildung hat f(x) bei x0 eine Polstelle, wenn x0 eine Nullstelle des Nenners ist und der Zähler nicht gleichzeitig 0 oder ∞ wird.

Es gibt Polstellen mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel (VZW).

In der Abbildung sehen wir eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, da beim "Überschreiten" der Polstelle von links nach rechts das Vorzeichen von - nach + wechselt.

Lücken statt Polstellen

Der "pathologische" Fall tritt dann ein, wenn bei x0 eine Nullstelle des Nenners vorliegt aber auch der Zähler Null wird. Die Funktion hat bei x0=2 eine Nullstelle des Nenners, aber auch des Zählers. Damit wäre f(2)=0/0, aber dies ist nicht definiert! f(x) hat bei x0=2 eine Definitionslücke aber keine Polstelle!

Beachte
Schließe diejenigen x0 aus den Kandidaten für Polstellen aus, bei denen der Zähler 0 oder ∞ wird!

Konstruktion von Funktionen mit Polstellen

Wenn f(x) bei x=a eine Polstelle haben soll, so brauchen Sie einen Nenner der Form .

Für gerade k ergibt sich eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, ungerade k liefern eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.






Vorzeichenuntersuchung

Annäherung von links:

Annäherung von rechts:

Die obigen Formeln bedeuten, dass man das Vorzeichen links und rechts der Polstelle dadurch feststellt, dass man einen etwas kleineren und einen etwas größeren x-Wert als x0 einsetzt. Man kann dies natürlich im Kopf durchdenken, aber bei komplizierteren Funktionstermen ist es ratsamer, den GTR zu verwenden, sofern es sich um eine Wahlteil-Aufgabe handelt.

Rechenbeispiel

Untersuche auf Polstellen.

Lösung

Die Nullstellen des Nenners sind x0=1 und x1=-1
In beiden Fällen wird der Zähler nicht 0 oder ∞, somit handelt es sich tatsächlich um Polstellen!






Vorzeichenuntersuchung der Polstelle bei x0=1
Annäherung von links:

für x "nahe" 1 und x<1 (z.B. x=0,9) wird der Nenner negativ!
Annäherung von rechts:

für x "nahe" 1 und x>1 (z.B. x=1,1) sind Zähler und Nenner positiv!

Ergebnis: Bei x0=1 liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (von - nach +) vor.
Analog liegt bei x1=-1 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (von + nach -) vor.


Wahlteil 2009 Analysis I 1 a)
(Wiedergegeben wird nur ein Auszug aus der Aufgabenstellung, nämlich der Teil, der für unser Thema relevant ist.)

Gegeben ist eine Funktion f mit .

Geben Sie sämtliche Asymptoten des Schaubilds von f an.
Skizzieren Sie das Schaubild von f samt Asymptoten für -7≤x≤7.

Asymptoten
Wegen ist die Gerade y=6 eine waagrechte Asymptote von f.

Polstellen
Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen von f. (Beachte: An diesen Stellen wird der Zähler nicht gleichzeitig 0!) Die Nullstellen des Nenners sind: x1=-4 und x2=4.

In die nachfolgende Skizze können wir also bei y=6 eine waagrechte Gerade und bei x=-4 sowie bei x=4 senkrechte Geraden einzeichnen. Vorzeichenuntersuchungen an den Polstellen benötigen wir nicht, da es sich um eine Wahlteilaufgabe handelt und wir den Kurvenverlauf mit dem GTR zeichnen lassen können.

Skizze

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