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Abikurs Mathe - Analysis

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25 - Kurvendiskussion
Waagrechte Asymptoten

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Begriffe

Asymptoten sind Näherungsgeraden, denen sich der Kurvenverlauf einer Funktion annähert. Es gibt waagrechte, senkrechte und schiefe Asymptoten. Senkrechte Asymptoten nennt man auch Polstellen, schiefe Asymptoten nennt man asymptotische Kurven. Mathematische Hilfsmittel zur Berechnung von Asymptoten: Limes und Polynomdivision.

Hinweis:

Im G8-Abitur werden schiefe Asymptoten und Polynomdivision nicht mehr verlangt.

In der Abbildung sehen Sie, wie sich die Funktionswerte sowohl für größer als auch für kleiner werdende x immer mehr der Geraden bei y=1/2 annähern. Man nennt die Gerade bei y=1/2 eine waagrechte Asymptote.

Wie findet man waagrechte Asymptoten?

Gilt , so hat f(x) eine waagrechte Asymptote bei y=a.
Gilt oder , so hat f(x) keine waagrechte Asymptote. Hier werden die Funktionswerte beliebig groß bzw. beliebig klein.

Waagrechte Asymptoten bei gebrochen rationalen Funktionen

Bei gebrochen rationalen Funktionen kann man waagrechte Asymptoten schnell erkennen! Man vergleicht einfach den Zählergrad mit dem Nennergrad. Mit Zählergrad ist der höchste Exponent im Zähler und mit Nennergrad ist entsprechend der höchste Exponent im Nenner gmeint.
Zählergrad größer Nennergrad ⇒ keine waagrechten Asymptoten.

Zählergrad kleiner Nennergrad ⇒ waagrechte Asymptote bei y=0 (das ist die x-Achse).

Zählergrad = Nennergrad ⇒ Waagrechte Asymptote bei y=a/b wobei a der Koeffizient bei der höchsten Potenz im Zähler und b der Koeffizient bei der höchsten Potenz im Nenner ist.


Rechenbeispiele

Untersuche und auf waagrechte Asymptoten.

Lösung

In f und g betrachte die führenden Koeffizienten (also diejenigen bei den höchsten Exponenten):

Daran erkennt man .
Bei h(x) ist der Zählergrad (=3) höher als der Nennergrad (=2). Für x →±∞ geht daher f(x)→±∞. Achten Sie dabei sehr genau auf das Vorzeichen! Wenn Sie immer größere Werte für x einsetzen, so bleiben Zähler und Nenner positiv, so dass für x →+∞ tatsächlich auch f(x)→+∞ geht. Umgekehrt ergibt sich für immer kleinere Werte von x im Zähler ein negatives Vorzeichen, so dass für x →-∞ auch f(x)→-∞ geht.
Bei k(x) ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad und somit geht k(x)→0 für x→±∞.

Ergebnis
f(x) hat eine waagrechte Asymptote bei y=1/2, g(x) bei y=-1/3, h(x) hat keine waagrechte Asymptote und k(x) hat die x-Achse als waagrechte Asymptote.

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