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Abikurs Mathe - Analysis

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Wahlteil 2017 – Analysis A 2 - Aufgabe A 2.2
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x3-9x2+24x-14.

c) Der Graph von f und die Gerade h mit der Gleichung y=2 schließen eine Fläche ein.
Diese Fläche rotiert um die Gerade h.
Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

c) Volumen des Rotationskörpers
Wir verdeutlichen uns die Situation zunächst in einer Skizze.

Die Formel für das Volumen bei Rotation um die x-Achse lautet Vx=πab[f(x)]2dx.
Damit wir diese Formel anwenden können, müssen wir sowohl f als auch h um zwei Einheiten nach unten verschieben. Dadurch wird h zur x-Achse und f wird zu g(x)=x3-9x2+24x-16.

Die Nullstellen von g sind dann die Grenzen a und b aus der Volumenformel. Geben Sie g(x) im GTR ein, lassen Sie sich den Graphen zeichnen und mit 2ND CALC zero erhalten Sie die beiden Nullstellen bei a=1 und b=4.

Damit haben wir .
Der GTR liefert hierfür den Wert 65,43.

Ergebnis: Das Volumen des Rotationskörpers beträgt etwa 65,43 LE3.

Pflichtteil 2015 - Aufgabe 9

Mit wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet.
Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper.

Lösung

Der Ausdruck y=f(x)=4-1/2x stellt eine fallende Gerade dar. Diese rotiert im Bereich zwischen x=0 und x=4 um die x-Achse und erzeugt dadurch einen Kegelstumpf, siehe Abbildung.






Wahlteil 2011 – Analysis I 1 - Aufgabe I 1

Für jedes a≠0 ist eine Funktion fa mit gegeben.

c) Die Schaubilder K1 und K2 schließen mit der y-Achse und der Geraden x=2 eine Fläche ein.
Bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein Drehkörper, der als Düse benutzt wird (Längeneinheit 1cm).
Berechnen Sie die Masse einer solchen Düse, die aus Titan mit einer Dichte von 4,5g/cm3 besteht.

Lösung

c) Volumen und Gewicht der Düse

Zunächst müssen die Volumina des äußeren und des inneren Rotationskörpers getrennt berechnet werden. Die Differenz liefert anschließend das Volumen der Düse.
und gilt dann V=V1-V2.
Geben Sie nun die Funktionsterme von f1(x) und f2(x) bei Y1 und Y2 im GTR eingeben.
Das Rotationsvolumen von f1 ergibt sich dann mit der Volumenformel durch: .
Berechnung mit dem GTR liefert Vx,K1≈3,83.
Analog: Vx,K2≈1,14.
Dann ist VD=Vx,K1-Vx,K2=2,69cm3.
Das Gewicht bzw. die Masse der Düse ist gegeben durch M=VD·4,5g/cm3=12,13g.

Ergebnis: Das Volumen der Düse beträgt VD=2,69cm3, die Masse ist M=12,13g.

Wahlteil 2007 – Analysis I 2c)

Rotationskörper:
Das Schaubild K rotiert im Intervall [0;4] um die Gerade mit der Gleichung y=4/3.
Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

Lösung:

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