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Abikurs Mathe - Analysis

<< 19 - Integrale - Änderungsraten >>




In den letzten Jahren kamen Integralaufgaben im Wahlteil verstärkt im Zusammenhang mit Änderungsraten vor.

Beispiele

  • Käuferzahlen pro Monat
  • Momentangeschwindigkeit
  • Zufluss- und Abflussrate
  • Geburts- und Sterberate
Eine Änderungsrate „geteilt“ angegeben sein, in Form eine Zuwachs- und einer Abnahmerate. Erst die Zuwachs- und Abnahmerate zusammen ergeben die Änderungsrate. Das Integral über die Änderungsrate ergibt dann den Bestand.

Beispiele
  • Käuferzahlen pro Monat → Anzahl Käufer
  • Momentangeschwindigkeit → Zurückgelegter Weg
  • Zufluss- und Abflussrate → Wassermenge
  • Geburts- und Sterberate → Bevölkerungszahl
Wir gehen nun direkt über zu den Abi-Aufgaben.

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 - Aufgabe A 1.1

Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführten Smartphone-App soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion f mit

f(x)=6000·t·e-0,5t; t≥0

(t in Monaten nach der Einführung, f(t) in Käufer pro Monat).

c) Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App.
Bestimmen Sie den Zeitraum von zwei Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt.

Lösung

c) Anzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung

Die gesuchte Anzahl ergibt sich aus dem Integral ∫06f(t)dt. Zur Berechnung mit dem GTR geben Sie hierzu den Ausdruck aus der nebenstehenden Abbildung ein.

Ergebnis: Sechs Monate nach Einführung haben 19.221 Personen die App gekauft.


Wahlteil 2017 – Analysis A 2 - Aufgabe A 2.1

An einem Stausee wird der Zu- und Abfluss künstlich geregelt. Dabei wird die momentane Zuflussrate beschrieben durch die Funktion z mit

Die konstante Abflussrate wird beschrieben durch die Funktion a mit

a(t)=19 ; t≥0

(t in Stunden seit Beobachtungsbeginn, z(t) und a(t) in 1000 m3/h ).

b) Zu Beobachtungsbeginn befinden sich 2.500.000 m3 Wasser im See.
Bestimmen Sie die Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
Begründen Sie, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um 144 000 m3 zunimmt.
Welchen Wert müsste die konstante Abflussrate haben, damit nach Ablauf von 14 Tagen die Wassermenge im Stausee 4180000 m3 betragen würde?

Lösung

b) Wassermenge 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn
Die Änderungsrate ist gegeben durch "Zufluss minus Abfluss" also durch z(t)-a(t)=20·sin(π/12·t)+6. Die Wassermenge im Stausee ist folglich gegeben durch


Beachten Sie, dass die Änderungsrate in 1000 m3/h gemessen wird. Dementsprechend geben wir die Wassermenge in Einheiten zu 1000m3 an. In der obigen Formel muss daher die anfängliche Wassermenge mit 2.500 angegeben werden und nicht mit 2.500.000! Unter Beachtung, dass der Wert wieder in m3 umgerechnet werden muss, erhalten Sie mit dem GTR folgendes

Ergebnis: 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich etwa 2.724.788 m3 im See.

Wasserzunahme nach jedem 24h-Stunden-Zeitraum
Die Periode der Funktion sin(π/12 t) berechnet sich mit . Das bedeutet, dass auch die Änderungsrate in einem 24-Stunden-Rhythmus schwankt. Die tatsächliche Zunahme ergibt sich nun durch

Beachte, dass die Wassermenge zu Beobachtungsbeginn hier natürlich keine Rolle spielt. Der GTR liefert den Wert 144.>

Ergebnis:
In einem 24-Stunden-Rhythmus nimmt die Wassermenge im Stausee um 144.000 m3 zu.

Neuer Wert für Abflussrate (GTR)
Die Wassermenge im Stausee nach 14 Tagen = 336 Stunden ist gegeben durch Anfangsmenge + Zuflussrate – Abflussrate, also gilt

Mit dem GTR ergibt sich 4180= 2500+8400-336a. Nach a aufgelöst folgt wiederum a=20.

Ergebnis: Die neue Abflussrate beträgt 20.000 m3/h.

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