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Abikurs Mathe - Analysis

<< 18 - Mittelwerte - Abi-Aufgaben >>



Hinweis
Aufgaben zum Thema Mittelwert mit der Integralformel kamen in den letzten Jahren nicht sehr häufig vor. Fragen dieser Art, findet man vor allem in den Wahlteilen. Da die Integralformel schnell gelernt und vor allem leicht im GTR eingegeben werden kann, ist das im Prinzip ein leicht verdienter Zusatzpunkt.

Wahlteil 2014 – Analysis A 1 - Aufgabe A 1.1

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=10x·e-0,5x. Ihr Graph ist K.
c) Auf der x-Achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion den Mittelwert 2,2 besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls.

Lösung

c) Intervallgrenzen

Die Mittelwertsformel lautet:

In unserem Fall gilt also: . Beachte, dass das Intervall bei einem noch unbekannten Wert x beginnt, 3 Einheiten lang ist und somit bei x+3 endet. Um die Lösung mit dem GTR zu bestimmen, geben Sie bei Y1 den Funktionsterm von f(x) ein. Bei Y2 geben Sie den Ausdruck fnInt(Y1,X,X,X+3)/3 und bei Y3 den Wert 2,2 ein. Lassen Sie sich die Graphen von Y2 und Y3 zeichnen z.B. im x-Intervall [-8;8] und im y-Intervall [-10,10]. Mit 2ND CALC intersect bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte der Graphen bei x1=-0,86 und x2=5,5. Dies sind die beiden möglichen Startpunkte der gesuchten Intervalle (in der Aufgabe war nur ein Intervall gefragt).

Ergebnis:
I1=[-0,86;2,14] und I2=[5,5;8,5] sind die einzigen Intervalle der Länge 3, auf denen f(x) den Mittelwert 2,2 besitzt.

Wahlteil 2008 – Analysis I 3 - Aufgabe I 3.1

Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200 Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f mit

f(t)=1000-800·e-0,01t;    t≥0      (t in Minuten, f(t) in Liter)

a) … Bestimmen Sie die mittlere Flüssigkeitsmenge während der ersten Stunde.

Lösung
Die erste Stunde beginnt bei t=0 und endet bei t=60, da wir in Minuten messen! Somit setzen Sie in der Integralformel für den Mittelwert die Grenzen a=0 und b=60 ein. Mit dem GTR erhalten Sie:

Ergebnis: Die mittlere Wassermenge während der ersten Stunde beträgt 398,4l.

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