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Abikurs Mathe - Analysis

<< 17 - Mittelwerte >>




Das arithmetische Mittelwerte
Es gibt verschiedene Arten von Mittelwerten, das geometrische Mitel, das harmonische Mittel usw. Normalerweise versteht man unter Mittelwert das so genannte arithmetische Mittel, bei dem man n Zahlenwerte aufsummiert und die Summe anschließend durch n teilt. Das aber setzt voraus, dass n endlich ist und es stellt sich sofort die Frage, ob mann auch von unendlich vielen Werten einen Mittelwert bilden kann? Dies führt zu der historischen Fragestellung, wie man zur Fläche unter einem gegebenen Kurvenstückchen ein Flächengleiches Rechteck finden kann.

Diese Frage führt zur...

Integralformel für Mittelwerte
Der Mittelwert m einer Funktion f(x) im Intervall [a;b] ist gegeben durch:

Erläuterung
Das Integral bestimmt die Fläche unter der Kurve von f(x) im Intervall [a;b]. Fasst man dies als Fläche eines Rechtecks auf, so braucht man nur noch durch die Länge (b-a) zu teilen und erhält die Höhe h des Rechtecks. Dies kann man dann als Mittelwert aller Funktionswerte f(x) im Intervall [a;b] auffassen. Insofern steht die Integralformel für den Mittelwert über unendlich viele Werte.

Rechenbeispiel 1
Berechne den Mittelwert von f(x)=x im Intervall [0;2].

Lösung:


Rechenbeispiel 2
Berechne den Mittelwert von f(x)=sin(x) im Intervall [0;2π].

Lösung:


Gegenüberstellung
Wir wollen nun das arithmetische Mittel, das wir im Falle endlich vieler Werte verwenden mit dem Mittelwert, den wir über die Integralformel erhalten, v2rgleichen. Die beiden Formeln lauten wie folgt.

Diskreter (endlicher) Fall:

Kontinuierlicher Fall:


Angenommen man hat im diskreten Fall sehr viele Werte zu addieren.
Wäre es nicht viel praktischer, die Integralformel zu verwenden, statt "beliebig" viele Werte aufzuaddieren?
Wie groß wären dann mögliche Abweichungen gegenüber dem genauen Wert?
Kann man wirklich die Integralformel verwenden?
Die Antwort lautet: Ja man kann! Man muss allerdings Ungenauigkeiten in Kauf nehmen!

Rechenbeispiel 3

Ein Messfühler misst jede Stunde, beginnend mit Stunde 0, die aktuelle Umgebungstemperatur in einem Kühlraum. Während der ersten 20 Stunden wird der Temperaturverlauf durch f(t)=20-0,05t2 wiedergegeben.
Bestimme die Durchschnittstemperatur innerhalb der ersten 20 Stunden (also bis t=20) zunächst mit der Integralformel.
Durchschnittswert mit der Integralformel:


Ergebnis: Die Durchschnittstemperatur während der ersten 20 Stunden beträgt näherungsweise(!) 13,3°C.

Der genaue Wert beträgt 13,166666°C! Gegenüber dem Wert der Integralformel hat man somit eine Abweichung von etwa 0,167°C. Man muss von Fall zu Fall entscheiden, ob man solche Abweichungen in Kauf nehmen kann oder nicht.

Rechenbeispiel 4

Eine Bakterienkultur vermehrt sich in den ersten 10 Stunden seit der Beobachtung exponentiell nach dem Gesetz f(t)=2·e0,2t. Hierbei wird t in Stunden und f(t) in Einheiten von 10.000 gemessen.
Welche Durchschnittsgröße hatte die Bakterienkultur zwischen der 4ten und der 8ten Stunde?

Lösung:

Ergebnis: Zwischen der 4ten und der 8ten Stunde gab es durchschnittlich 68.200 Bakterien.

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