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Abikurs Mathe - Analysis

<< 16 - Integrale und Flächen - Abi-Aufgaben >>

HINWEIS
Die folgenden Abi-Aufgaben werden nur ausschnittsweise wiedergegeben.
Besprochen werden nur die Aufgabenteile, die für unser aktuelles Thema relevant sind.


Wahlteil 2016 – Analysis A 1 - Aufgabe A 1.1

Der Graph der Funktion f mit f(x)=-0,1x3+0,5x2+3,6 beschreibt modellhaft für -1≤x≤5 das Profil eines Geländequerschnitts.
Die positive x-Achse weist nach Osten, f(x) gibt die Höhe über dem Meeresspiegel an (1 Längeneinheit entspricht 100 m).

b) Am Hang zwischen dem höchsten Punkt und dem westlich davon gelegenen Tal befindet sich ein in den Hang gebautes Gebäude, dessen rechteckige Seitenwand im Geländequerschnitt liegt. Die Abbildung zeigt den sichtbaren Teil dieser Seitenwand. Die Oberkante der Wand verläuft waagrecht auf 540 m Höhe. Von dieser Kante sind 28 m sichtbar. Untersuchen Sie, ob der Flächeninhalt des sichtbaren Wandteils größer als 130 m2 ist.

Lösung

Flächeninhalt des sichtbaren Wandteils
Den oberen Rand der Wand stellen wir als Gerade mit der Gleichung g(x)=5,4 dar, da laut Aufgabe dieser Rand in einer Höhe von 540 m liegt. (Beachte: 1 LE entspricht 100 m). Der Flächeninhalt des sichtbaren Wandteils ist dann gegeben durch:

Unsere Aufgabe besteht nun darin, die Begrenzungen x1 und x1 herauszufinden. Den Rest erledigen wir mit dem GTR.

Schritt 1: Bestimmung von x2 und x1:
Geben Sie im GTR bei Y2 den Wert 5,4 ein, lassen Sie sich die beiden Graphen von Y1 und Y2 zeichnen und bestimmen Sie mit 2ND CALC intersect den Schnittpunkt der beiden Graphen. Sie erhalten x2=3 und daraus x1=x2-0,28=2,72.
Schritt 2: Bestimmung des Flächeninhalts mit dem GTR
Wir haben nun und geben dies wie nebenstehend gezeigt im GTR ein. Dies liefert A≈0,0145. 1 LE² entspricht 10.000 m2. Folglich ist A=145 m2.


Ergebnis: Der sichtbare Wandteil hat eine Fläche von etwa 145 m2 und ist damit größer als 130 m2.




Wahlteil 2013 – Analysis A 1 - Aufgabe A 1.1

Der Querschnitt eines 50 Meter langen Bergstollens wird beschrieben durch die x-Achse und den Graphen der Funktion f mit

f(x)=0,02x4-0,82x4+8; -4≤x≤4 (x und f(x) in Meter).

a) ...
Nach einem Wassereinbruch steht das Wasser im Stollen 1,7 m hoch.
Wie viel Wasser befindet sich im Stollen?

Wassermenge im Stollen

Die Wasserstandslinie ist gegeben durch die Gerade g(x)=1,7. Mit dem GTR bestimmen Sie die Schnittpunkte a und b mit f(x) über 2ND CALC INTERSECT und erhalten a=-3,2 und b=3,2.

Die Nullstellen von f(x) erhalten Sie über 2ND CALC ZERO bei N1=-4 und N2=4.

Die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse ist gegeben durch . Mit dem GTR erhält man A1≈37,205.

Die Fläche zwischen den beiden Kurven ist gegeben durch .
Wenn Sie f(x) bei Y1 und g(x) bei Y1 im Y-Editor eingegeben haben, so können Sie den Ausdruck durch Eingabe von fnInt(Y1-Y2,X,-3.2,3.2) bestimmen. Hier liefert der GTR den Wert A2≈25,091.

Die Querschnittsfläche, die wir für die Berechnung der Wassermenge brauchen ist dann A=A1-A2=12,114. Das Wasservolumen ergibt sich durch V=A·Stollenlänge = 12,114m2·50m=605,7m3. 1m3 entspricht 1.000 Liter.

Ergebnis: Die Wassermenge im Stollen beträgt 605.700 Liter.


Wahlteil 2013 – Analysis A 2 - Aufgabe A 2.2

Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=sin(π·x) für 0≤x≤1.
Der Graph von f begrenzt mit der x-Achse eine Fläche mit Inhalt A.
Berechnen Sie A exakt.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion g zweiten Grades schneidet die x-Achse bei x=0 und x=1 und schließt mit der y-Achse eine Fläche ein, deren Inhalt halb so groß wie A ist.
Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von g.

Lösung

Flächeninhalt

Es gilt:


Ergebnis: Die gesuchte Fläche beträgt exakt 2/π LE2.

Funktionsgleichung für g
Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat die allgemeine Form g(x)=ax2+bx+c.
Die x-Achse wird bei x=0 und x=1 geschnitten, d.h. es gilt g(0)=0 und g(1)=0. Aus g(0)=0 erhält man c=0. Aus g(1)=0 erhält man I. a+b=0. Die Fläche zwischen x=0 und x=1 ist gegeben durch

Laut Aufgabenstellung soll A2 halb so groß sein, wie die Fläche A aus dem vorangehenden Aufgabenteil. Somit gilt II. 1/3a+1/2b=1/π.
Aus I. a+b=0 folgt a=-b. Eingesetzt in II. folgt 1/3a-1/2a=-1/6a=1/π und damit a=-6/π sowie b=6/π.

Ergebnis: Der Funktionsterm von g lautet .

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