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Abikurs Mathe - Analysis

<< 15 - Integrale und Flächen >>




Eine historische Fragestellung

Das Integral wird aus einer geometrischen Fragestellung hergeleitet:
Wie bestimmt man die Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse innerhalb des Intervalls [a;b]?

In der Schule lernt man, dass man diese Fläche mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung bestimmen kann. Dieser besagr:

An dieser Stelle möchte ich noch einmal ausdrücklich erwähnen, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist und dass der Zusammenhang F'(x)=f(x) gilt! Die grundlegenden Rechenregeln wurden unter 03 - Integralaufgabe bereits erläutert.

Wenn Sie den Hauptsatz zum Berechnen einer Fläche anwenden, gibt es jedoch ein Problem. Wir wollen dies in einem kleinen Experiment zeigen.

Experiment

Gesucht ist die Fläche zwischen f(x)=sin(x) und der x-Achse im Intervall [π;].

Negative Flächen??? Das kann nicht sein!

Erkenntnis
Der Wert des Integrals stellt nicht immer die Fläche unter einer Kurve dar! Verläuft die Kurve teilweise unterhalb der x-Achse, so kommt es zu Auslöschungen oder sogar zu einem negativen Vorzeichen!


Hätten wir oben das Integral im Bereich [0;] gebildet, so hätten wir exakt den Wert 0 erhalten! Wie also kann man mit Hilfe des Integrals Flächen korrekt berechnen?

Maßnahme: Integriere von Nullstelle zu Nullstelle und nimm Beträge!

Rechenbeispiel:
Gesucht ist die Fläche zwischen f(x)=x3+1,5x2-1,5x-1 und der x-Achse im Intervall [-2;1].

Lösung:
Da wir uns von Nullstelle zu Nullstelle "hangeln", müssen wir diese zuerst bestimmen. In der Abbildung unten sehen Sie, dass die Nullstellen x1=-2, x2=-0,5 und x3=1 sind. Auf den vollständigen Rechenweg verzichten wir hier.
Ergebnis: Die gesuchte Fläche beträgt etwa 2,5LE2.

Mit GTR: Geben Sie den Funktionsterm von f(x) bei Y1 ein. Anschließend geben Sie im Berechnungsmodus ein: abs(fnInt(Y1,X,-2,-0.5)) + abs(fnInt(Y1,X,-0.5,1)).
Die Funktion abs() bekommen Sie über MATH im Menü Num.


Fläche zwischen zwei Kurven
Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven in einem gegebenen Intervall [a;b]?


Idee: Fläche obere Kurve minus Fläche untere Kurve.

Wir haben somit den folgenden Ansatz:

Negative Vorzeichen vermeiden wir wieder durch Betragsbildung. Sofern im Intervall [a;b] keine weiteren Schnittpunkte der beiden Kurven liegen gilt:

Beachte, dass es bei mehreren Flächenstücken wieder zu Auslöschungen kommen kann!


Maßnahme:
Bestimme die Schnittpunkte der Kurven, integriere von Schnittpunkt zu Schnittpunkt und nimm die Beträge. Für obige Abbildung gilt dann:


Rechenbeispiel "von Hand":

Bestimme die Fläche zwischen den beiden Kurven von f(x) und g(x) zwischen den Schnittpunkten von Hand.

Lösung:
Zuerst die Schnittpunkte.
f(x)=g(x) liefert: 1/4x3-1/2x3-6x=0 |·4
x3-2x2-24x=0 |x ausklammern
x(x2-2x-24)=0
Das liefert x1=0 und mit der pq-Formel x2=-4 und x3=6.
Die gesuchte Fläche liegt im Intervall [-4;0]. Wir berechnen sie wie folgt:


Rechenbeispiel mit dem GTR:

Bestimme die Fläche zwischen den beiden Kurven von f(x)=2sin(x) und g(x)=cos(1,5x) im Intervall [x1;x3] mit dem GTR.

Lösung:

Geben Sie die beiden Funktionsterme bei Y1 und Y2 im Y-Editor des GTR ein und lassen Sie sich die Kurven mit GRAPH in einem geeigneten Koordinatenausschnitt zeichnen. Die Schnittpunkte bestimmen Sie mit 2ND CALC intersect. Sie erhalten x1=-π, x2=0,426 und x3=π
Die Fläche ist gegeben durch:

Dies gibt man im GTR so ein:
abs(fnInt(Y1-Y2,X,-π,0.426)) + abs(fnInt(Y1-Y2,X,0.426,π))
• fnInt erhält man über MATH
• abs erhält man über MATH im Menü NUM

Ergebnis: Der GTR liefert dann die Fläche mit A = 8,435 LE2.

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