Eine historische Fragestellung
Das Integral wird aus einer geometrischen Fragestellung hergeleitet:
Wie bestimmt man die Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse innerhalb des Intervalls [a;b]?
Wenn Sie den Hauptsatz zum Berechnen einer Fläche anwenden, gibt es jedoch ein Problem. Wir wollen dies in einem kleinen Experiment zeigen.
Experiment
Gesucht ist die Fläche zwischen f(x)=sin(x) und der x-Achse im Intervall [π;2π].
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Negative Flächen??? Das kann nicht sein!
Erkenntnis
Der Wert des Integrals stellt nicht immer die Fläche unter einer Kurve dar! Verläuft die Kurve teilweise unterhalb der x-Achse, so kommt es zu Auslöschungen oder sogar zu einem negativen Vorzeichen!
Hätten wir oben das Integral im Bereich [0;2π] gebildet, so hätten wir exakt den Wert 0 erhalten! Wie also kann man mit Hilfe des Integrals Flächen korrekt berechnen?
Maßnahme: Integriere von Nullstelle zu Nullstelle und nimm Beträge!
Rechenbeispiel:
Gesucht ist die Fläche zwischen f(x)=x3+1,5x2-1,5x-1 und der x-Achse im Intervall [-2;1].
Lösung:
Da wir uns von Nullstelle zu Nullstelle "hangeln", müssen wir diese zuerst bestimmen. In der Abbildung unten sehen Sie, dass die Nullstellen x1=-2, x2=-0,5 und x3=1 sind. Auf den vollständigen Rechenweg verzichten wir hier.
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Mit GTR: Geben Sie den Funktionsterm von f(x) bei Y1 ein. Anschließend geben Sie
im Berechnungsmodus ein: abs(fnInt(Y1,X,-2,-0.5)) + abs(fnInt(Y1,X,-0.5,1)).Die Funktion abs() bekommen Sie über MATH im Menü Num.
Fläche zwischen zwei Kurven
Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven in einem gegebenen Intervall [a;b]?
Idee: Fläche obere Kurve minus Fläche untere Kurve.
Wir haben somit den folgenden Ansatz:
Maßnahme:
Bestimme die Schnittpunkte der Kurven, integriere von Schnittpunkt zu Schnittpunkt und nimm die Beträge. Für obige Abbildung gilt dann:
Rechenbeispiel "von Hand":
Bestimme die Fläche zwischen den beiden Kurven von f(x) und g(x) zwischen den Schnittpunkten von Hand.
Lösung:
Zuerst die Schnittpunkte.
f(x)=g(x) liefert: 1/4x3-1/2x3-6x=0 |·4
x3-2x2-24x=0 |x ausklammern
x(x2-2x-24)=0
Das liefert x1=0 und mit der pq-Formel x2=-4 und x3=6.
Die gesuchte Fläche liegt im Intervall [-4;0]. Wir berechnen sie wie folgt:
Rechenbeispiel mit dem GTR:
Bestimme die Fläche zwischen den beiden Kurven von f(x)=2sin(x) und g(x)=cos(1,5x) im Intervall [x1;x3] mit dem GTR.
Lösung:
Geben Sie die beiden Funktionsterme bei Y1 und Y2 im Y-Editor des GTR ein und lassen Sie sich die Kurven mit GRAPH in einem geeigneten Koordinatenausschnitt zeichnen. Die Schnittpunkte bestimmen Sie mit 2ND CALC intersect. Sie erhalten x1=-π, x2=0,426 und x3=π
Die Fläche ist gegeben durch:
abs(fnInt(Y1-Y2,X,-π,0.426)) + abs(fnInt(Y1-Y2,X,0.426,π))
• fnInt erhält man über MATH
• abs erhält man über MATH im Menü NUM
Ergebnis: Der GTR liefert dann die Fläche mit A = 8,435 LE2.
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