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Abikurs Mathe - Analysis

<< 13 - Wendepunkte >>




Wendepunkte
Wendepunkte sind diejenigen Stellen auf einer Kurve mit der stärksten Steigung bzw. mit dem stärksten Gefälle. Somit können Sie die x-Koordinaten nichts anderes als die Extremstellen der Ableitungskurve. Formulierungen wie "maximale Steigung" oder "stärkstes Gefälle" kommen auch in den Abi-Aufgaben vor. Wenn Sie also solche Formulierungen lesen, wissen Sie, dass es um die Bestimmung von Wendepunkten geht.


Wie bei den Hoch- und Tiefpunkten gibt es auch hier ein notwendiges und ein hinreichends Kriterium, um Wendepunkte zu ermitteln.

Notwendiges Kriterium: f''(x)=0
Hinreichendes Kriterium: f'''(x)≠0


Das ist, wie man sieht, fast dasselbe wie bei den Hoch- und Tiefpunkten, nur eben mit "einem Strich mehr".

Verfahren "von Hand"

Zur Bestimmung von Wendepunkten gehen Sie wie folgt vor:
  1. Löse f''(x)=0 und erhalte x1, x2, …
  2. Prüfe jede der oben gefundenen Lösungen mit f''':
    • Ist f'''(x)=0, so liegt kein Wendepunkt vor.
    • Ist f'''(x)≠0, so liegt ein Wendepunkt vor.
  3. Die y-Koordinate des Wendepunktes erhalten Sie durch Einsetzen des in 1. gefundenen x-Wertes in f(x).

Rechenbeispiel "von Hand"
Untersuche f(x)=x3-2,5x2 auf Wendepunkte.

Lösung:
f'(x)=3x2-5x, f''(x)=6x-5, f'''(x)=6
f''(x)=0 ⇔ 6x-5=0 ⇔ x=5/6≈0,83
f'''(5/6)≠0 ⇒ Wendepunkt
y=f(5/6)≈-1,16

Ergebnis: Der gesuchte Wendepunkt ist W(0,83|-1,16).

Rechenbeispiel mit dem GTR
Untersuche f(x)=x3-12x auf Wendepunkte.

Beachte:
Die Wendepunkte von f(x) finden Sie über die Hoch- und Tiefpunkte auf der Ableitungskurve von f(x)!

Lösung:

Geben Sie im GTR bei Y1 den Funktionsterm ein.
Bei Y2 wählen Sie über die MATH-Taste die Funktion nDeriv() und vervollständigen Sie die Eingabe so, wie es die Abbildung zeigt.
Die Variable Y1 können Sie wie folgt eingeben:
Tippen Sie die Taste VARS und wählen anschließend mit den Pfeiltasten den Eintrag Y-VARS, dort die Option "Function" und schließlich die Variable Y1.
Mit GRAPH lassen Sie sich (ggf. nach Einstellung des Koordinatenausschnitts über die Taste WINDOW) die Ableitungsfunktion zeichnen.
Mit 2ND CALC minimum bestimmen Sie die x-Koordinate des Minimums der Ableitungskurve.
Dies ist die x-Koordinate des Wendepunkts von f(x), in unserem Fall also x=0.
Wenn Sie über 2ND QUIT (MODE-Taste) in den Berechnungsmodus wechseln, können Sie nach Eingabe von Y1(0) die y-Koordinate des Wendepunkts ermitteln.


Ergebnis: Der gesuchte Wendepunkt ist W(0|0).

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