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♦ Abikurs Mathe - Analysis ♦

<< 12 - Hoch- und Tiefpunkte >>



Hoch- und Tiefpunkte
In der folgenden Abbildung sehen Sie eine Kurve mit verschiedenen Hoch- und Tiefpunkten.

Wenn man in den Hoch- und Tiefpunkten eine Tangente einzeichnet, erkennt man, dass alle Tangenten waagrecht sind, d.h. alle Tangenten haben die Steigung 0. Dies bedeutet f'(x)=0.

Notwendiges Kriterium: f'(x)=0

Mit f'(x)=0 bekommt man auch Sattelpunkte, denn auch dort hat man waagrechte Tangenten!

Die Bedingung f'(x)=0 reicht alleine folglich nicht aus! Wir brauchen also ein zweites Kriterium, mit dem wir die Sattelpunkte "herausfiltern" können.

Hinreichendes Kriterium: f''(x)≠0

Klassifizierung von Extrempunkten Wenn Sie herausgefunden haben, dass an einer Stelle x0 ein Extrempunkt vorliegt, so wissen Sie dadurch noch nicht, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Dies lässt sich auf zwei Arten herausfinden.

Variante 1:
Die erste Möglichkeit besteht darin, das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Stelle x0 zu untersuchen. Dabei gilt folgendes:

f''(x0)<0 liefert einen Hochpunkt
f''(x0)>0 liefert einen Tiefpunkt


Variante 2:
Bei der zweiten Möglichkeit Untersuchen Sie das Vorzeichen der ersten Ableitung in einer genügend kleinen Umgebung links und rechts von der Stelle x0.
Daher gilt folgendes:

Vorzeichenwechsel bei f' von + nach - ⇒ Hochpunkt
Vorzeichenwechsel bei f' von - nach + ⇒ Tiefpunkt

Bei einem Sattelpunkt findet übrigens kein Vorzeichenwechsel der Steigung statt!


Verfahren „von Hand“

Zur Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten gehen Sie wie folgt vor:
  1. Löse f'(x)=0 und erhalte x1, x2, …
  2. Prüfe jede der oben gefundenen Lösungen mit f'':
    • Ist f''(x)=0, so liegt kein Extrempunkt vor.
    • Ist f''(x)<0, so liegt ein Hochpunkt vor.
    • Ist f''(x)>0, so liegt ein Tiefpunkt vor.
  3. Die y-Koordinate des Hoch- oder Tiefpunktes erhalten Sie durch Einsetzen des in 1. gefundenen x-Wertes in f(x).

Rechenbeispiel
Bestimme alle Extrempunkte der Funktion f(x)=x3-12x.

Lösung:
f'(x)=3x2-12, f''(x)=6x
Mit f'(x)=3x2-12=0 folgt 3x2=12 bzw. x2=4 und damit x1=2 und x2 =-2.
Dies sind die Kandidaten für unsere Extremstellen. Ob es sich wirklich um Extremstellen handelt, müssen wir mit dem zweiten Kriterium erst noch prüfen!

Prüfung x1=2:
f''(2)=12>0. Somit liegt bei x1=2 ein Tiefpunkt vor.
y=f(2)=23-12·2=-16 ⇒ T(2|-16)

Prüfung x2=-2:
f''(2)=-12<0. Somit liegt bei x2=-2 ein Hochpunkt vor.
y=f(-2)=(-2)x3-12·(-2)=16 ⇒ H(-2|16)

Ergebnis: T(2|-16) und H(-2|16) sind die gesuchten Extrempunkte.

Extrempunkte mit dem GTR

Über 2ND CALC min bzw. 2ND CALC max kann man Minima bzw. Maxima einer Funktion bestimmen.
Man gibt dabei zuerst die linke, dann die rechte Intervallgrenze an (mit den Pfeiltasten oder durch Eingabe der x-Werte von Hand).
Jede Eingabe wird mit ENTER abgeschlossen.
Ein letztes ENTER startet die Berechnung.

Rechenbeispiel mit dem GTR
Bestimme alle Extrempunkte der Funktion f(x)=x3-12x.

Lösung:
Geben Sie über die Taste Y= im Y-Editor bei Y1 den Funktionsterm ein.
Über die Taste WINDOW legen Sie die Ausschnitt des Koordinatensystems fest, etwa wie in der Abbildung gezeigt.
Mit der Taste GRAPH lassen Sie sich den Graphen der Funktion zeichnen.
Mit den Tasten 2ND CALC (über der TRACE-Taste) wählen Sie z.B. maximum und drücken ENTER.
Mit den Pfeiltasten wählen Sie zuerst die linke, dann die rechte Intervallgrenze und bestätigen Sie jeweils mit ENTER.
Um den Berechnungsvorgang zu starten, tippen Sie erneut ENTER.
Der GTR zeigt nun das Maximum an und Sie können im Display unten die Koordinaten ablesen.

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