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Abikurs Mathe - Analysis

<< 10 - Funktionsterme bestimmen >>




In den Pflichtteilen (manchmal auch in den Wahlteilen) kommt es vor, dass man aus den gegebenen Informationen einen Funktionsterm ermitteln muss. Üblicherweise läuft das nach folgendem Schema ab:

  • Erstelle aus den vorhandenen Informationen Gleichungen und erhalte so ein Gleichungssystem.
  • Löse das Gleichungssystem.
  • Die so gefundenen Werte für die Variablen führen dann zum gesuchten Funktionsterm.
Rechenbeispiel:
Bestimme den Funktionsterm von f anhand folgender Angaben:
  • f ist ganzrational 3ten Grades und berührt die x-Achse im Ursprung.
  • H(1|1) ist ein Hochpunkt.

Vorgehensweise:
Eine Funktion 3ten Grades hat allgemein die Form f(x)=ax3+bx2+cx+d
Gesucht sind also konkrete Werte für a, b, c und d.
Leite aus allen Infos aus der Aufgabe Gleichungen her und löse das entstehende Gleichungssystem. Das liefert schließlich f(x).
  • f(x)=ax3+bx2+cx+d.3 ⇒ f'(x)=3ax2+2bx+c.
  • f berührt die x-Achse im Ursprung, d.h. (0|0) liegt auf dem Graphen von f, also gilt f(0)=0, d.h. d=0.
  • f berührt die x-Achse im Ursprung, d.h. f hat im Ursprung eine waagrechte Tangente, also gilt f'(0)=0, d.h. c=0.
  • H(1|1) ist ein Hochpunkt, d.h. (1|1) liegt auf dem Graphen von f(x), also gilt f(1)=1 und damit a+b+c+d=1. Wegen c=0 und d=0 folgt a+b=1.
  • H(1|1) ist ein Hochpunkt, d.h. f(x) hat im Punkt (1|1) eine waagrechte Tangente, also gilt f'(1)=0 und damit 3a+2b+c=0. Wegen c=0 folgt 3a+2b=0.
Nun muss nur noch das folgende LGS gelöst werden:

I. a+b=1
II. 3a+2b=0

Aus I. erhält man a=1-b. Einsetzen in II. liefert 3·(1-b)+2b=0 also 3-b=0 und damit b=3, was wiederum in I. eingesetzt a=-2 liefert.
Inzwischen haben wir a=-2, b=3, c=0 und d=0. Das ist alles, was wir brauchen um den gesuchten Funktionsterm nun konkret hinzuschreiben.

Ergebnis:
Der gesuchte Funktionsterm lautet f(x)=-2x3+3x2.


Pflichtteil 2015 - Aufgabe 4

Der Graph einer ganzrationalen Funktionen f dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle x=2 die Tangente mit der Gleichung y=4x-12.
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f.

(4 VP)

Lösung:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die allgemeine Form f(x)=ax3+bx2+cx+d.
Die Ableitung ist f'(x)=3ax2+2bx+c.
Die Aussage, dass f im Ursprung einen Hochpunkt hat, bedeutet sowohl I. f(0)=0 als auch II. f'(0)=0. Damit folgt durch einfaches Einsetzen direkt d=0 und c=0

An der Stelle x=2 hat f die Tangente mit der Gleichung y=4x-12. Die Steigung dieser Tangente ist 4, somit gilt I. f'(2)=4 also I. 12a+4b=4.
Setzen wir x=2 in die Tangente ein, so erhalten wir die y-Koordinate des Punktes auf dem Graphen von f, an dem die Tangente anliegt, also y=-4. Somit gilt II. f(2)=-4 also II. 8a+4b=-4.
Wir erhalten das folgende lieneare Gleichungssystem:

I. 12a+4b=4
II. 8a+4b=-4

Wenn wir beide Gleichungen voneinander abziehen (I. - II.) so erhalten wir 4a=8 und damit a=2. Eingesetzt in II. folgt 16+4b=-4 also 4b=-20 bzw. b=-5.

Ergebnis: Die Funktionsgleichung für f lautet f(x)=2x3-5x2.

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